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2)Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un rio recto de 300 mts. de ancho. El punto D está a 600 mts. de B y en su misma orilla. Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro de cable es el 25% mas caro bajo el agua que por tierra. ¿Cómo se debe tender el cable, para que el costo total sea mínimo?.
Solución:
Sea Q el punto sobre la misma orilla y a una distancia x de B donde termina el tramo de cable bajo el agua.
Se puede definir ahora las constantes y variables del problema:
x: distancia de B a Q; 0 ≤x≤600
y: distancia de A a Q; (longitud de cable bajo el agua).
600 – x: distancia de Q a D; (longitud de cable por tierra).
k (const): costo por metro de cable por tierra.
5/4k (const): costo por metro de cable por agua. 5/4k=1.25k
P : costo total (función a minimizar).
De acuerdo al teorema de Pitágoras, y=√(x²+300²) (1)
Ahora, la función costo total viene dada por:
C=(5/4k)y + k(600-x) (2)
Sustituyendo (1) en (2), la función costo total puede escribirse en términos solamente de la variable x así:
C (x)=5/4 k √(x²+300²) + k(600-x) (3); con 0≤x≤600
C (x)=5/4k (x²+300²)^1/2 + k(600-x) (3)
Como C (x) es una función continua en un intervalo cerrado, C (x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo en [0, 600].
Al derivar en (3) e igualar a cero, se obtienen los puntos críticos:
C´(x)= (5/4k*1/2(2x)(x²+300²)^-1/2 –k) =0
K ((5x/4(x²+300²)^1/2))-1= 0
è 5x-4*√(x²+300²)=0
è 4√(x²+300²)= 5x De donde x = 400.
Asi que x = 400 es el único punto crítico y de acuerdo al criterio de la segunda derivada, corresponde a un mínimo relativo .En consecuencia, el mínimo absoluto es el menor entre los siguientes valores: C (0), C (400) y C (600).
C(0)=5/4k √(300²) +600k =975k
Esto significa geométricamente, que el cable se tira desde A hasta B bajo el agua y desde B hasta D por tierra, implicando un gasto de 975 k pesos.
C(600)= 5/4k √(600²+300²) = 375√5k = ≈838.5k
geométricamente, que el punto Q coincide con D, y en este caso el cable se tiende directamente desde A hasta D por agua, demandando un gasto total de
375√5k = ≈838.5kpesos….
C(400)=5/4k √(400²+300²) +200k=825k Esto significa que si el punto Q está a 400 mts. de B y se tiende el cable bajo el agua desde A hasta Q y por tierra desde Q hasta D, demandaría un gasto de 825 k pesos, menor, para la compañía que los dos anteriores..
3)
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Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación: y(x)= x³+2x²+x
Solución Obtendremos los máximos y mínimos por el criterio de la segunda derivada. Obteniendo la primera derivada de la función y(x), tendremos:
y´(x)= 3x²+4x+1
obteniendo las raíces de esta ecuación y´(x)=0, por ejemplo, mediante la fórmula de la ecuación cuadrática tenemos:
x= ((-4±√((4)²-4(3)(1)) / 2(3) ) = (-4±2) /6
entonces
x1= -1 x2= -1/3
sacando la segunda derivada tendremos:
y´´(x)= 6x+4
evaluando en la raíz x1 en la segunda derivada tenemos:
y´´(-1)= 6(-1)+4= -2
por lo tanto como la evaluación en x1= -1 es negativa existe un máximo local y su valor máximo es:
y(-1)=(-1)³+2(-1)²+(-1)=0
lo que equivale a decir que en la coordenada (-1,0) existe un máximo local
Para el punto x2= -1/3 la evaluación para la segunda derivada es igual a:
y´´(-1/3)= 6(-1/3)+4= 2
y al contrario de la otra evaluación se tiene una cantidad positiva y por tanto existe un mínimo local. Su mínimo local existe en
y(-1)=(-1/3)³+ 2(-1/3)²+(-1/3)= -1/27 + 2/9 -1/3 = (-1+6-9)/27 = -4/27
lo que equivale a decir que en las coordenadas (-1/3,-4/27) existe un mínimo local
4). La nocividad de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)= 40+15t-9t2+t3, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece.
Solución
Para que la función tenga un máximo o un mínimo la derivada debe ser cero.
V´(t)= 15-18t+3t2, igualando a 0, 3t2-18t+15=0
Simplificando t2-6t+5=0, cuyas soluciones son 5 y 1.
Ahora voy a ver quien es el máximo y quien el mínimo de la función, en el intervalo [0, 6], que tiene que estar entre estos dos valores junto o en los extremos del intervalo (por el teorema de Weirtrars).
Ordenamos la función V por comodidad, V(t)= t3-9t2+15t+40
V(0)=40
V(5)=125-225+75+40 =15
V(1)=1-9+15+40= 47
V(6)=216-324+90+40=22
La máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas.
los intervalos de crecimiento y decrecimiento se estudia el signo de la derivada:
V’(t)=3t2-18t+15
0 1 5 6
V’ + 0 - 0 +
Luego V crece desde 0 a 1 y desde 5 a 6, (crece en (0, 1) unión (5, 6) ) y decrece en el intervalo (1, 5)
Observando la gráfica de esta función vemos lo ve lo deducido.
Calcular los máximos y mínimos de las funciones:
5). f(x) = x3 − 3x + 2
f'(x) = 3x2 − 3 = 0
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 Máximo
f''(1) = 6 Mínimo
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4) Mínimo(−1, 0)
