EJERCICIOS PARABOLA 3.

1) Dados los puntos (0 , 1) (1 , 1) y (-2 , 7).

Y= ax²+bx+c --> ecuación general.

1= a(0)² + b(0) + c 1= a(1)² + b(1) + (1) 7= a(-2)² + b(-2) + 1

C=1 1= a + b + 1 7= 4a - 2b + 1

1-1= a + b 7-1= 4a - 2b

a= -b 6= 4a-2b

Por reemplazo donde entre la primera y la segunda=

6= 4(-b) -2b a=-b
6= -4b-2b a= -(-1)
6=-6b a=1
6/-6=b
-1=b

Solución: reemplazando términos

y= x²-x+1

2) Se sabe que la ecuación de una parábola es y= -x²+2x-3 y la ecuación de la recta y =3x-5, halla los puntos de corte entre la parábola y la recta:

y= -x²-2x-3

y=3x-5

Reemplazando:

3x-5= -x²+2x-3

-x²+2x-3-3x+5

-x²-x+2

En y:

y= 3*(-2)-5

y= -6-5

y= -11

EJERCICIOS PARABOLA 2.

1)6y²-12x=0
Simplificando: y²-2x=0
y²=2x

Donde 4p=2
p=2/4
p=1/2
p=0.5

Vértice=(h,K) en este caso no hay valores que sumen o resten a la X y a la Y por tanto h=0 ; k=0 tambien el punto C indica el valor de corte con los ejes y 6y²-12x=0 nos muestra que C=0

Vértice: (0,0)
Foco: ( h+p , k)
(0+0.5 , 0 )
(0.5 , 0)
Directriz: ( h- p )
X= -0.5

2) 2y²=-7x
y²=-7/2x

Donde: 4p= 7/2
p=7/8
p=0.875

Vértice:(h,k) donde h=0 ; k=0
( 0 , 0 )
Foco:( h+p , k)
(0+(-0.875) , 0)
(-0.875 , 0)
Directriz: h-p
X=0.875

3) 5x²-15y=0
x²-3y=0
x²=3y

Donde: 4p=3
p=3/4
p=0.75

Vértice: ( h,k)
(0,0)
Foco:(h , k+p)
(0 , 0+0.75)
( 0 , 0.75 )
Directriz: k-p
Y=0-0.75
Y=-0.75

4) 7x²+9y=0
7x²=-9y
x²=-9/7y

Donde:4p=9/7
p=9/28
p=0.32

Vértice: (h,k)
(0,0)
Foco: (h , k+p)
(0 , 0+0.32)
(0 , 0.32)
Directriz: k-p
Y=0-0.32
Y=-0.32

EJERCICIOS PARABOLA

PARABOLA 2.

Y= x²-5 -->es una parábola.
Y la ecuación x+4y=-5 --> tangente
Y=-x/4 – 5/4
(0, -1.25)(4,-2.25) --> punto de la secante
El resultado es -2.25 ya que -5/4 = -1.25 y -1.25-1 que aumenta en y = -2.25
• 4x+5y=8
• -x+4y=0 *(4)

• 4x+5y=8
• -4x+16y=0
• Se cancela 4x con -4x quedando igual a cero, luego se suma 5y+16y=21y y 8+0=8 donde:

21y=8 ; y=8/21 --> y=0.38
Reemplazando-x+4(0.38)=0
-x+1.52 --> -x=-1.52 *(-1) --> x=1.52

LUEGO (1.52 ; 0.38 ) son los puntos de intersección de la recta

PARABOLA

• Es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.
• Se define también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.

Aplicaciones prácticas
La tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco.

Ecuaciones de la parábola
Una parábola cuyo vértice está en el origen, tiene una ecuación de la forma y=ax² donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».
• La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (h,k) tiene la forma (y-k) =a(x-h)²
• La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma Y=aX²+bX+c
• La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma x=aY²+bY+c

Ecuación involucrando la distancia focal
Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice (variando el parámetro a) en la primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe sólo una parábola que los tiene por vértice y foco ya que la directriz queda automáticamente fija como la perpendicular a la línea que une el foco con el vértice y a esa misma distancia del último.
Se tiene el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (0,k+p) ). La directriz es por tanto, la recta horizontal que pasa por (k-p). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:
• La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es X²= 4py
• La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es y= X²/ 4p

Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de la parábola.
Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren «hacia arriba». La ecuación de una parábola que se abre hacia abajo es similar excepto que varía un signo. En este caso, el foco sería (0,-p) y de esta forma:
• La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,-p) es x²=-4px
Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», se obtiene una ecuación similar intercambiando los roles de x, y:
• La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (p,0) es y²=4px
Obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de las parábolas hacia la izquierda.

Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen mediante una traslación. En el caso común de la parábola vertical hacia arriba se tiene
• La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h, k+p) es
(x-h)²=4p(y-k)
Mientras que para la parábola horizontal se intercambia x con y
• La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h+p, k) es (y-k)²=4p(x-h)

SECANTE Y TANGENTE

• La recta secante es una recta que corta a una circunferencia en dos puntos. Conforme estos puntos de corte se acercan, dicha recta se aproxima a un punto y, cuando solo existe un punto que toca la circunferencia, se le llama tangente. "Secante" proviene del término en latín para el verbo cortar => "secare"
• Una recta tangente es aquella que solo tiene un punto en común con una curva, es decir la toca en un solo punto, que se llama punto de tangencia. La recta tangente indica la pendiente de la curva en el punto de tangencia.

FUNCION UNO A UNO

Una función f con dominio A y recorrido B es una función uno a uno (o inyectiva)si siempre que a≠b en A se tiene que f(a) ≠ f (b) en B; en otras palabras, a elementos distintos del dominio le corresponden imágenes distintas en el recorrido.

REFLEXIÓN: Una función uno a uno (o inyectiva) es aquella que a valores distintos de "x" les corresponden valores distintos de "y".

Gráficamente, una función es uno a uno si al trazar una recta horizontal, cortamos su gráfica como máximo una sola vez.
Si la cortamos dos o más veces, no es uno a uno.