EJERCICIOS DE CIRCUNFERENCIA.

1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro c (-3 , -5) y radio 7

2. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(2 , 3) y B (-4 , 5). Hallar la ecuación de la curva.

3. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro c(7 , -6) y que pasa por el punto A(2 , 2)

4. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro c(2 , -4) y que es tangente al eje y.

5. Una circunferencia tiene su centro en el punto c(0 , -2) y es tangente a la recta 5x-12y+2=0. Hallar su ecuación.

6. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (-4 , -1) y que es tangente a la recta 3x+2y-12=0

7. La ecuación de una circunferencia es (x-3)² + (y+4)²= 36 .Demostrar que el punto A (2 , -5) es interior a la circunferencia y que el punto B (-4 , 1) es exterior.

Solución

1)Centro (-3,-5) radio=7

(x-h)² + (y-k)²= r²

(x-(-3))² + (y-(-5)) = 7²

(x+3)² + (y+5)² = 49

2) Dados los puntos: A(2,3) y B(-4,5)

El centro es la mitad de ese diámetro que hay entre esos dos puntos por tanto:

Radio: Centro (-1 , 4) Punto A (2 , 3)

d=√ (x1-x2)²+ (y1-y2)²

d=√ (-1-2)²+ (4-3)²

d=√ (-3)²+ (1)²

d=√9+1

d=√10

d=3.16227766

(x-h)²+ (y-k)²=r²

(x-(-1))²+ (y-4)² =10

(x+1)²+ (y-4)²= 10

3) Centro (7, -6) A(2, 2)

d=√ (x1-x2)²+ (y1-y2)²

d=√ (7-2)²+ (-6-2)²

d=√ (5)²+ (-8)²

d=√ 25+64

d=√ 89

d=9.433981

(x-h)²+ (y-k)²=r²

(x-7)²+ (y+6)²=89

4) Si es tangente al eje y ; el radio=x

Si es tangente al eje x ; el radio=y

Por lo tanto Centro (2 , -4)

(x-h)²+ (y-k)²=r²=>x

(x-2)²+ (y-(-4))²= 2²

(x-2)²+ (y+4)²=4

5) Centro(0, -2) recta ( 5x -12y + 2)

-12y = -5x -2 (-1)

m²= -12 / 5 y= 5x – 2 /12

Y = m x + b (y –y1) m= (x –x1)

-2 = -12/5 (0) + b (y – (-2)) = -12 /5 (x – 0)

-2 = b y + 2 = -12/5 x

5 (y + 2) = -12x

5y + 10 = -12x

12x + 5y + 10 =0

5x – 12y = -2 (5) --> Reeplazando:5 (-0.77) – 12y = -2

12x + 5y = -10 (12) -3.85 + 2 = 12

-1.85 = 12y ® -1.85/12 = y

25x – 60y = -10 -0.150= y

144x + 60y = -120

169x 0 = -130

X= -130/169

X= -0.769

X= aproximadamente-0.77

d=√ (x1 – x2)² + (y1-y2)

d=√ (0-(-0.77)² + (-2-(-0.15))²

d=√ (0.77)² + (-1.85)²

d=√ 0.59 + 3.40

d=√3.99

d= 1.999 aproximadamente 2

(x-h)² + (y-k)²= 1 = 2²

(x-0)² + (y+2)² = 4

X² + (y+2)² =4

6) Centro ( -4, -1)

Tangente 3x+2y-12=0

m1*m2=-1

-3 /2* m2=-1

m2= 2 /3 Hallamos b

Y = mx+b

-1= 2/3(-4) +b

-1+ 8/3=b

-3 /3+ 8 /3

-->5/3=b

Y= 2x/3+ 5/3

3y=2x+5

3x+2y=12 (*2)

-2x+3y=5 (*3)

6 x+4y=24

-6x+9y=15

0 13y=39

Y=39/ 13 Y=3

En X: 3x+ 2(3)= 12

3x+ 6= 12

3x=12-6

3x=6

X=6/3 --> x=2

(x-h)²+ (y-k)²= r²

(x-(-4))²+ (y-(-1))²= r²

(x+4)²+ (y+1)²= r² donde -->d=√(x2-x1)²+ (y2-y1)²

d=√ (2-(-4))²+ (3-(-1))²

d=√ (2+4)²+ (3+1)²

d=√ (6)²+ (4)²

d=√36+16

d=√52

d=7.2

(x+4)²+ (y+1)²=52

7) ecuación circunferencia: (x-3)²+ (y+4)=36

Punto A (2, -5)

Punto B (-4, 1)

àx² -2*(x)*(3)+9

(x²-6x+9)

ày²+ 2*(y)*(4)+16

(y²+8y+16)

X²+y²-6x+8y+9+16=36

X²+y²-6x+8y=36-25

X²+y²-6x+8y=11

>radio exterior

=radio es de la circunferencia

-Posición de A dentro o fuera de la circunferencia.

(X²+y²-6x+8y=11)

(2)²+ (-5)²-6*(2)+8*(-5)=11

4+25-12+(-40)=11

-23<11

Quiere decir que el punto A se encuentra en el interior

-Posición de B dentro o fuera de la circunferencia.

(X²+y²-6x+8y=11)

(-4)²+(1)²-6*(-4)+8*(1)=11

16+1+24+8=11

49>11

Quiere decir que el punto B se encuentra en el exterior

CIRCUNFERENCIA.

Una circunferencia es una curva plana cerrada formada por todos los puntos del plano que equidistante de un punto interior, llamado centro de la circunferencia. La distancia común se llama radio.

Elementos de la circunferencia

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

• centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
• radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
• diámetro,o cuerda mayor, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro;
• cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
• recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
• recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
• punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
• arco, segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
• semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

La circunferencia y un punto: posiciones relativas

Un punto en el plano puede ser:

• Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
• Perteneciente la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
• Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.